아인슈타인 텐서

3. 성질

아인슈타인 텐서 $\backslash mathbf\{G\}$는 유사 리만 다양체 위에 정의된 랭크 2의 텐서이며, 다음과 같은 성질을 가진다.

• 대칭 텐서이다:

• 비안키 항등식에 의하여 공변보존된다:

• :이는 일반 상대성 이론에서 에너지 보존 법칙을 나타내는 중요한 성질이다. 아인슈타인 방정식에 따르면, 에너지-운동량 텐서는 시공의 곡률과 비례해야 하는데, 에너지-운동량은 공변보존돼야 하므로, 곡률을 나타내는 텐서 가운데 자동적으로 공변보존되는 아인슈타인 텐서를 써야 함을 알 수 있다.
• 아인슈타인 텐서의 트레이스는 계량 텐서 $g^\{\backslash mu\backslash nu\}$를 이용해 축약하여 계산할 수 있다. $n$차원에서:

• :4차원의 특수한 경우, $G\; =\; -R$이다. 즉, 아인슈타인 텐서의 트레이스는 리치 텐서 트레이스의 음수이다. 따라서, 아인슈타인 텐서를 "역대각합(trace-reversed^영어) 리치 텐서"라고 부르기도 한다. 이 경우는 일반 상대성 이론에서 특히 중요하다.

4. 명시적 형태 (Explicit form)

리치 텐서는 계량 텐서에만 의존하므로 아인슈타인 텐서는 계량 텐서만으로 직접 정의할 수 있다. 그러나 이 표현식은 복잡하여 교과서에서 거의 인용되지 않는다. 크리스토펠 기호를 사용한 리치 텐서의 공식을 통해 아인슈타인 텐서의 복잡성을 표현할 수 있다.

:$$

\begin{align}

G_{\alpha\beta} &= R_{\alpha\beta} - \frac{1}{2} g_{\alpha\beta} R \\

&= R_{\alpha\beta} - \frac{1}{2} g_{\alpha\beta} g^{\gamma\zeta} R_{\gamma\zeta} \\

&= (\delta^\gamma_\alpha \delta^\zeta_\beta - \frac{1}{2} g_{\alpha\beta}g^{\gamma\zeta}) R_{\gamma\zeta} \\

&= (\delta^\gamma_\alpha \delta^\zeta_\beta - \frac{1}{2} g_{\alpha\beta}g^{\gamma\zeta})(\Gamma^\epsilon_{\gamma\zeta,\epsilon} - \Gamma^\epsilon_{\gamma\epsilon,\zeta} + \Gamma^\epsilon_{\epsilon\sigma} \Gamma^\sigma_{\gamma\zeta} - \Gamma^\epsilon_{\zeta\sigma} \Gamma^\sigma_{\epsilon\gamma})

\end{align}



여기서 $\backslash delta^\backslash alpha\_\backslash beta$는 크로네커 델타이고 크리스토펠 기호 $\backslash Gamma^\backslash alpha\_\{\backslash beta\backslash gamma\}$는 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash Gamma^\backslash alpha\_\{\backslash beta\backslash gamma\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; g^\{\backslash alpha\backslash epsilon\}(g\_\{\backslash beta\backslash epsilon,\backslash gamma\}\; +\; g\_\{\backslash gamma\backslash epsilon,\backslash beta\}\; -\; g\_\{\backslash beta\backslash gamma,\backslash epsilon\})$

그리고 $\backslash Gamma\; ^\backslash alpha\; \_\{\backslash beta\; \backslash gamma,\; \backslash mu\}$형식의 항은 μ 방향으로의 편미분을 나타낸다. 즉,

:$\backslash Gamma^\backslash alpha\{\}\_\{\backslash beta\backslash gamma,\; \backslash mu\}\; =\; \backslash partial\; \_\backslash mu\; \backslash Gamma^\backslash alpha\{\}\_\{\backslash beta\backslash gamma\}\; =$

\frac{\partial}{\partial x^\mu}

\Gamma^\alpha{}_{\beta\gamma}

이 공식은 소거하기 전에는 $2\; \backslash times\; (6\; +\; 6\; +\; 9\; +\; 9)\; =\; 60$개의 개별 항을 생성한다. 소거를 통해 이 숫자가 약간 감소한다.

어떤 지점 근처의 국소 관성 좌표계의 특수한 경우, 계량 텐서의 1차 도함수는 사라지고 아인슈타인 텐서의 성분 형태는 상당히 단순화된다.

:$\backslash begin\{align\}$

G_{\alpha\beta}

& = g^{\gamma\mu}\left[ g_{\gamma[\beta,\mu]\alpha} + g_{\alpha[\mu,\beta]\gamma} - \frac{1}{2} g_{\alpha\beta} g^{\epsilon\sigma} \left(g_{\epsilon[\mu,\sigma]\gamma} + g_{\gamma[\sigma,\mu]\epsilon}\right)\right] \\

& = g^{\gamma\mu} \left(\delta^\epsilon_\alpha \delta^\sigma_\beta - \frac{1}{2} g^{\epsilon\sigma}g_{\alpha\beta}\right)\left(g_{\epsilon[\mu,\sigma]\gamma} + g_{\gamma[\sigma,\mu]\epsilon}\right),

\end{align}

여기서 대괄호는 관례적으로 대괄호로 묶인 지수에 대한 반대칭 텐서를 나타낸다. 즉,

:$g\_\{\backslash alpha[\backslash beta,\backslash gamma]\backslash epsilon\}\; \backslash ,\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash left(g\_\{\backslash alpha\backslash beta,\backslash gamma\backslash epsilon\}\; -\; g\_\{\backslash alpha\backslash gamma,\backslash beta\backslash epsilon\}\backslash right).$

5. 일반 상대성 이론에서의 사용

아인슈타인 텐서를 사용하면 아인슈타인 방정식을 다음과 같이 간결하게 나타낼 수 있다.

:$$G\_\{\backslash mu\backslash nu\}\; +\; \backslash Lambda\; g\_\{\backslash mu\; \backslash nu\}\; =\; \backslash kappa\; T\_\{\backslash mu\backslash nu\}\; ,$$

여기서 $\backslash Lambda$는 우주 상수이고 $\backslash kappa$는 아인슈타인 중력 상수이다.

축약된 비앙키 항등식 역시 아인슈타인 텐서를 이용하여 쉽게 표현할 수 있다.

:$$\backslash nabla\_\{\backslash mu\}\; G^\{\backslash mu\backslash nu\}\; =\; 0.$$

(축약된) 비앙키 항등식은 곡선 시공간에서 응력-에너지 텐서의 공변 보존을 자동적으로 보장한다.

:$$\backslash nabla\_\{\backslash mu\}\; T^\{\backslash mu\backslash nu\}\; =\; 0.$$

아인슈타인 텐서의 물리적 의미는 이 항등식에 의해 강조된다. 킬링 벡터 $\backslash xi^\backslash mu$에 대해 축약된 조밀화된 응력 텐서의 관점에서, 일반적인 보존 법칙이 성립한다.

:$$\backslash partial\_\{\backslash mu\}\backslash left(\backslash sqrt\{-g\}\backslash \; T^\backslash mu\{\}\_\backslash nu\; \backslash xi^\backslash nu\backslash right)\; =\; 0.$$

아인슈타인 텐서는 비안키 항등식에 의하여 공변보존된다. 즉 다음을 만족한다.^[1]

:$\backslash nabla\_\backslash mu\; G^\{\backslash mu\backslash nu\}=0$.

이는 일반 상대성 이론에서 중요한 역할을 한다. 아인슈타인 방정식에 따르면, 에너지-운동량 텐서는 시공의 곡률과 비례하여야 한다. 에너지-운동량은 공변보존돼야 하므로 (에너지 보존의 법칙), 곡률을 나타내는 텐서 가운데 자동적으로 공변보존되는 아인슈타인 텐서를 써야 함을 알 수 있다.^[1]

6. 유일성

데이비드 러브록은 4차원 미분 다양체에서 아인슈타인 텐서가 $g\_\{\backslash mu\backslash nu\}$와 최대 1차 및 2차 편도함수의 유일한 텐서이며 발산이 없는 함수임을 보였다.^{[1][2][3][4][5]}

그러나, 아인슈타인 장 방정식은 다음 세 가지 조건을 만족하는 유일한 방정식은 아니다.^[6]

# 뉴턴-푸아송 중력 방정식과 유사하지만 일반화됨

# 모든 좌표계에 적용됨

# 임의의 계량 텐서에 대한 에너지-운동량의 국소 공변 보존을 보장

아인슈타인-카르탕 이론과 같은 많은 대안적 이론들 역시 위 조건을 만족한다.

7. 참고 항목

• 일반 상대성 이론의 수학
• 일반 상대성 이론의 자원

참조

_[1] 논문 The Einstein Tensor and Its Generalizations
_[2] 논문 The Four‐Dimensionality of Space and the Einstein Tensor https://aip.scitatio[...]
_[3] 논문 The uniqueness of the Einstein field equations in a four-dimensional space
_[4] 논문 Lovelock Tensor as Generalized Einstein Tensor
_[5] 서적 Relativity: Special, General, and Cosmological Oxford University Press
_[6] 서적 A First Course in General Relativity https://archive.org/[...] Cambridge University Press 2009-05-31
_[7] 논문 The Einstein Tensor and Its Generalizations http://jmp.aip.org/r[...]
_[8] 논문 The uniqueness of the Einstein field equations in a four-dimensional space http://link.springer[...]
_[9] 논문 Lovelock Tensor as Generalized Einstein Tensor https://arxiv.org/ab[...]
_[10] 서적 Relativity: Special, General, and Cosmological Oxford University Press
_[11] 서적 A First Course in General Relativity Cambridge University Press 2009-05-31